【追記】 9月19日時点でYouTubeサイトにSafariでアクセスしてもピクチャーインピクチャー機能を使うことができなくなっています。（YouTube、ピクチャーインピクチャーが使えなくなる）
iOS 14は各種動画コンテンツを他のアプリを実行しつつ、小さな画面で再生する機能を搭載しています。ピクチャーインピクチャーはYouTubeでも使え、YouTubeのプレミアム会員向けの機能だったバックグラウンド再生も可能になっています。
Safariで開く
現時点でYouTube動画をピクチャーインピクチャーで楽しむにはSafariからYouTubeにアクセスする必要があります（プレミアム会員ならYouTubeアプリでも可能かもしれません）。SafariでYouTubeにアクセスして、視聴する動画を選び、全画面で再生します（縦横どちらでも可）。再生中の動画をタップすると左上にピクチャーインピクチャーのアイコン（下の写真参照）が表示されます。それをタップすると小さな画面で再生が始まります。
アプリを閉じても小さな画面での再生は維持され、他のアプリを開いても再生は続きます。これで他のアプリを使いながらでもYouTube動画を楽しむことが可能になりました。また動画の音声だけを楽しみたい場合はピクチャーインピクチャーの再生画面をスワイプして画面の右または左の枠外に格納してしまうことも可能です。
さらにピクチャーインピクチャーで動画を再生している場合（画面を格納している時を含む）、iPhoneの画面がOFFの状態でも再生が可能です。画面をOFFにすると一旦再生が止まるのですが、ロック画面で再生を再開できます。一度再開すると次に画面をOFFにしても動画（音声）の再生が続きます。これまでバックグラウンドでの動画（音声）の再生はYouTubeのプレミアム会員しかできなかった機能なのですが、これで誰でもiPhoneでバックグラウンドでの再生を楽しめるようになりました。
結構便利な機能なので覚えておいて損はないかもしれません。